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利用PROC FREQ过程中的binomial语句可以很方便地计算单组率置信区间，SAS提供了9种（不包括校正法）计算单组率置信区间的方法，现列举如下：
首先准备示例数据：

data test;    input out $ weight;cards;阳性 95阴性 5;run;

1. Wald 法

基于Wald法构建的单组率的置信区间应用非常广泛，且Wald在结构上有着以点估计为中心对称分布的天然优势，基于Wald法构建的单样本率置信区间可表示为：

?±??/2?(1−?)?‾‾‾‾‾‾‾‾‾√$p\pm z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

优点：以点估计为中心，对称分布
缺点：（1）Overshoot: 置信区间可能超过[0,1]范围（2）Degeneracy: 区间宽度可能为0（p=0或1时）（3）覆盖率差
代码：

proc freq data = test;    tables out /nopercent nocol norow nocum binomial(level = "阳性" cl = wald);    weight weight;run;

2. Wald 法（连续性校正）

?±(??/2?(1−?)?‾‾‾‾‾‾‾‾‾√+12?)$p\pm (z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}+\frac{1}{2n})$

优点：（1）可避免区间宽度可能为0的情况（2）覆盖率较Wald法有所改善
缺点：（1）结果偏保守（2）更容易发生置信区间超过[0,1]范围的情况
代码：

proc freq data = test;    tables out /nopercent nocol norow nocum binomial(level = "阳性" cl = wald(correct));    weight weight;run;

3. Agresti-Coull

Agresti-Coull法的主要思路是选择一个大于0的常数作为pseudo-frequency，在计算样本量的时候对点估计进行校正，目的是使点估计尽量向中央（0.5）靠拢，这个大于零0的常数被称为估计因子?$\varphi$。
Agresti和Coull提出了?$\varphi$的两种形式，?=12?2?/2$\varphi =\frac{1}{2}{z}_{\alpha /2}^2$和?=2$\varphi =2$，前者称为ADDZ2校正法，后者称为ADD4校正法，SAS中仅提供ADDZ2校正法，当?=0.05$\alpha =0.05$时，??/2$z_{\alpha /2}$接近2，此时ADDZ2校正法与ADD4校正法近似。
当?=2$\varphi =2$时（ADD4校正法），其实际含义是样本成功例数和失败例数分别加2，即总样本量加4。

?̃ ±?̃ (1−?̃ )?+?2?/2‾‾‾‾‾‾‾‾‾√$\tilde{p}\pm \sqrt{\frac{\tilde{p}(1-\tilde{p})}{n+z_{\alpha /2}^2}}$

其中?̃ =?1+12?2?/2?+?2?/2$\tilde{p}=\frac{n_1+\frac{1}{2}{z}_{\alpha /2}^2}{n+z_{\alpha /2}^2}$
优点：（1）downward spikes现象略有改善（downward spikes：当率在极端情况下，置信区间覆盖率急剧下滑）
缺点：（1）牺牲了置信区间宽度
代码：

proc freq data = test;    tables out /nopercent nocol norow nocum binomial(level = "阳性" cl = agresticoull);    weight weight;run;

4. Wilson Score法

Wilson Score法作为Wald法的替代，应用十分广泛，是目前学界公认的在非极端率情况下的最佳置信区间构建方法。
基于Wilson Score法构建的置信区间可表示为：

∣∣?−?̂ ∣∣=??/2?(1−?)?‾‾‾‾‾‾‾‾‾√$|p-\hat{p}|=z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

?$p$可表示为：

11+1??2?/2⎛⎝⎜⎜?̂ +?2?/22?±??/2?̂ (1−?̂ )+14??2?/2?‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√⎞⎠⎟⎟$\frac{1}{1+\frac{1}{n}{z}_{\alpha /2}^2}(\hat{p}+\frac{z_{\alpha /2}^2}{2n}\pm z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})+\frac{1}{4n}{z}_{\alpha /2}^2}{n}})$

优点：（1）被认为是moderate proportion（率不接近0或1）的最佳方法
缺点：（1）存在downward spikes现象
代码：

proc freq data = test;    tables out /nopercent nocol norow nocum binomial(level = "阳性" cl = wilson);    weight weight;run;

5. Wilson Score法（连续性校正）

基于Wilson Score法连续性校正构建的置信区间可表示为：

∣∣?−?̂ ∣∣−12?=??/2?(1−?)?‾‾‾‾‾‾‾‾‾√$|p-\hat{p}|-\frac{1}{2n}=z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

代码：

proc freq data = test;    tables out /nopercent nocol norow nocum binomial(level = "阳性" cl = wilson(correct));    weight weight;run;

6. Jeffreys法

Jeffreys法构建的置信区间表示如下：

?=Beta(?2,?1+12,?−?1+12)$L=Beta(\frac{\alpha }{2},n_1+\frac{1}{2},n-n_1+\frac{1}{2})$

?=Beta(1−?2,?1+12,?−?1+12)$U=Beta(1-\frac{\alpha }{2},n_1+\frac{1}{2},n-n_1+\frac{1}{2})$

代码：

proc freq data = test;    tables out /nopercent nocol norow nocum binomial(level = "阳性" cl = jeffreys);    weight weight;run;

7. 似然比法

似然比法通过逆推似然比检验构造置信区间，零假设下似然比检验统计量可表示为：

?(?0)=−2(?1ln?̂ ?0+(?−?1)ln1−?̂ 1−?0)$L\left(p_0\right)=-2(n_1\ln \frac{\hat{p}}{p_0}+(n-n_1)\ln \frac{1-\hat{p}}{1-p_0})$

使检验统计量?(?0)$L\left(p_0\right)$落在接受域内的所有?0$p_0$组成的区间即为似然比法的置信区间：{?0:?(?0)<?21,?}$\{p_0:L(p_0)<{\chi }_{1,\alpha }^2\}$，PROC FREQ通过迭代计算寻找置信限。
代码：

proc freq data = test;    tables out /nopercent nocol norow nocum binomial(level = "阳性" cl = likelihoodratio);    weight weight;run;

8. Logit法

基于Logit变换 ?=ln(?̂ 1−?̂ )$Y=\ln \left(\frac{\hat{p}}{1-\hat{p}}\right)$，?$Y$ 的近似置信区间用以下公式计算：

??=ln?̂ 1−?̂ −??/2??1(?−?1)‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√$Y_L=\ln \frac{\hat{p}}{1-\hat{p}}-z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{n}{n_1(n-n_1)}}$

??=ln?̂ 1−?̂ +??/2??1(?−?1)‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√$Y_U=\ln \frac{\hat{p}}{1-\hat{p}}+z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{n}{n_1(n-n_1)}}$

?$p$ 的置信区间可表示为：

??=exp(??1+exp(??))$P_L=\exp \left(\frac{Y_L}{1+\exp \left(Y_L\right)}\right)$

??=exp(??1+exp(??))$P_U=\exp \left(\frac{Y_U}{1+\exp \left(Y_U\right)}\right)$

代码：

proc freq data = test;    tables out /nopercent nocol norow nocum binomial(level = "阳性" cl = likelihoodratio);    weight weight;run;

9. Clopper-Pearson法

基于二项分布构建的置信区间方法，使得精确置信限满足以下方程：

∑?=?1?(??)???(1−??)?−?=?2$\sum _{x=n_1}^n(\frac{n}{x})P_L^x(1-P_L{)}^{n-x}=\frac{\alpha }{2}$

∑?=0?1(??)???(1−??)?−?=?2$\sum _{x=0}^{n_1}(\frac{n}{x})P_U^x(1-P_U{)}^{n-x}=\frac{\alpha }{2}$

PROC FREQ 使用 ?$F$ 分布计算Clopper-Pearson置信限，公式如下：

??=[1+?−?1+1?1?(?2,2?1,2(?−?1+1))]−1$P_L={[1+\frac{n-n_1+1}{n_{1}F(\frac{\alpha }{2},2n_1,2(n-n_1+1\left)\right)}]}^{-1}$

??=[1+?−?1(?1+1)?(1−?2,2(?1+1),2(?−?1))]−1$P_U={[1+\frac{n-n_1}{(n_1+1)F(1-\frac{\alpha }{2},2(n_1+1),2(n-n_1\left)\right)}]}^{-1}$

代码：

proc freq data = test;    tables out /nopercent nocol norow nocum binomial(level = "阳性" cl = likelihoodratio);    weight weight;run;

10. Mid-P法

Mid-P 精确置信限满足以下方程：

∑?=?1+1?(??)???(1−??)?−?+12(??1)??1?(1−??)?−?1=?2$\sum _{x=n_1+1}^n(\frac{n}{x})P_L^x(1-P_L{)}^{n-x}+\frac{1}{2}(\frac{n}{n_1})P_L^{n_1}(1-P_L{)}^{n-n_1}=\frac{\alpha }{2}$

∑?=0?1−1(??)???(1−??)?−?+12(??1)??1?(1−??)?−?1=?2$\sum _{x=0}^{n_1-1}(\frac{n}{x})P_U^x(1-P_U{)}^{n-x}+\frac{1}{2}(\frac{n}{n_1})P_U^{n_1}(1-P_U{)}^{n-n_1}=\frac{\alpha }{2}$

代码：

proc freq data = test;    tables out /nopercent nocol norow nocum binomial(level = "阳性" cl = midp);    weight weight;run;

11. Blaker法

通过对双侧 Blaker 精确检验逆推来构建置信区间，使检验统计量?(?0,?1)$B(p_0,n_1)$落在接受域内的所有?0$p_0$组成的区间称为Blaker置信区间：{?0:?(?0,?1)>?}$\{p_0:B(p_0,n_1)>\alpha \}$
其中：

?(?0,?1)=Prob(?(?0,?)≤?(?0,?1)|?0)$B(p_0,n_1)=Prob\left(\gamma \right(p_0,X)\le \gamma (p_0,n_1\left)|p_0\right)$

?(?0,?1)=min(Prob(?≥?1|?0),Prob(?≤?1|?0))$\gamma (p_0,n_1)=min\left(Prob\right(X\ge n_1|p_0),Prob(X\le n_1|p_0\left)\right)$

代码：

proc freq data = test;    tables out /nopercent nocol norow nocum binomial(level = "阳性" cl = blaker);    weight weight;run;

最后，将以上9种方法同时展示（wald 和 wilson 仅展示校正法）：

proc freq data = test;    tables out /nopercent nocol norow                 nocum binomial(level = "阳性"                               cl = (wald(correct)  agresticoull    wilson(correct)                                     jeffreys       likelihoodratio logit                                     clopperpearson midp            blaker));    weight weight;run;

参考文献：徐莹. 一种新的单样本率的置信区间估计方法[D].南方医科大学,2019.